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「申す」という動詞は、尊敬語ではなく謙譲語です。自分に対して使うもので、相手に使う言葉ではありません。たとえば「私が申しましたように……」というのは正しい使い方ですが、「あなたが申されたように……」というのは間違っている上に、失礼になってしまいます。（相手に使うときは「仰る」が正しい敬語です。）

さて、相手に対して「お申し出下さい」「お申し込み下さい」と言うことがあります。これは間違っているのでしょうか。

「申す」は謙譲語でも、「申し込む」は、謙譲語ではありません。
よって「お申し込み下さい」は問題ありません。
ただし「申し出る」が謙譲語かどうかは意見が分かれるところです。
辞書によっては謙譲語として扱われていないこともあります。

しかし 「お申し出ください」という表現を気にする人もいますので、
「お申しつけ下さい」という言い方をすればよいでしょう。
「申しつける」は相手が上の立場になりますので、問題ないのです。